我们在中学时期学过两个常数，π和e，其中π是圆周率常数，它表示的是平面圆形面积与其半径的平方的比值，具有明显的几何意义。但是e，大部分人也都只知其名，而不知其所以。e和π一样，是一个无限不循环小数，值为2.7182818……，他究竟有什么样的意义，才被我们称为自然常数呢？

01．e的来历

自然常数e是由瑞士数学家雅各布·伯努利研究复利问题引入的。

银行存款利息计算方式有单利和复利两种，其中单利是指本金不变，按照总存期计算利息；而复利是指将一个存期得到的利息也计入到下一个存期的本金中去，通俗的叫法就是利滚利。

假设一家银行的存款年利率是100%，也就是说，你将1元钱存到银行，一年后就可以从银行取出2元。按照单例模式计算，如果你存3年的话，最后会得到4元钱，因为单利模式本金1元不变，每存期都增加本金的一倍，所以3年后算上本金一共是4元钱。但如果是复利模式，情况就大不一样了，第一年存期结束后，本金和利息合计为2元，这2元将作为下一个存期的本金，那么2年后就会有4元，3年后就会有8元，足足番了8倍，可见复利的增长模式是指数级的。

那么咱们现在让总存期固定为一年，现在按照半年进行结息，到了前半年的时候，你的本金和利息和（简称本息和）为1 + 1 * (100%) / 2（半年的利率为50%），结果为1.5，按照复利计算，到了下半年结束后，你的本息和为：1.5 + 1.5 * (100%) / 2 = 2.25。这是以半年作为结息期的结果，同样是存款一年，比单利方式要多出2毛5分钱，那么，是不是把结息期划分的越短，就会得到越多的利息呢？

我们不妨把结息期设定为按季度，那么同样是存入本金1元钱，第一季度结束，本息和为：1 + 1 * (100%) / 4 = 1.25，第二季度结束，本息和为：1.25 + 1.25 * (100%) / 4 = 1.5625，第三季度结束，本息和为：1.5625 + 1.5625 * (100%) / 4 = 1.953125，第四季度结束，本息和为：1.953125 + 1.953125 / 4 = 2.44140625，又比以前多拿了一些零头。

可见，随着结息期的缩短，本息和会相应的增加，那么问题来了，如果无限的缩短结息期，你会不会变成亿万富翁？

02．由求极限问题得出自然常数e

上面罗列了许多求复利问题的计算式，为了能够将问题一般化，咱们来把他变成通用的公式。

以第一期季度结息为例，计算式为：1 + 1 * (100%) / 4，其中1是本金，100%是年利率，4是一年中有多少个结息期。因为我们要看固定本金、固定年利率下，随着结息期的增长，我们会不会变成亿万富翁，所以本金为1，年利率100%我们可以认为是固定值，只需要设结息期为n，即可转换上述计算式为1 + 1 / n。为了计算一年的本息和，我们还要继续分析剩下的存期，显而易见，下一个存期的本金就不是1了，而是上一个存期的本息和，即1 + 1 / n，咱们将这个本金代入第一期结息的计算式：(1 + 1 / n) + (1 + 1 / n) / n，化简一下，得到：1 + 2 / n + 1 / n^2（^为幂运算，这里n^2表示n的平方），根据和的平方的展开公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可将公式视作：1^2 + 2 * 1 * (1 / n) + (1 / n) ^ 2，进而化简为：(1 + 1 / n) ^ 2。好了，这是到了第二期的本息和，我们不妨继续推导，第三期本息和为：(1 + 1 / n) ^ 2 + (1 + 1 / n)^2 / n，同样我们先展开该计算式，得到：1 + 2 / n + 1 / n^2 + 1 / n + 2 / n^2 + 1 / n^3 = 1 + 3 / n + 3 / n^2 + 1 / n^3，根据和的立方展开公式：(a + b)^3 = a^3 + 3ab^2 + 3ba^2 + b^3，可将公式视作：1^3 + 3 * 1 * (1 / n)^2 + 3 * (1 / n) * 1^2 + (1 / n) ^ 3，进而化简为：(1 + 1 / n)^3。这是第三期的本息和，如果继续推导下去，第四期为(1 + 1 / n)^4，第五期为(1 + 1 / n)^5，那么第n期本息和就是(1 + 1 / n)^n了，将1元存一年，分n期，最后的本息和就是(1 + 1 / n)^n了。

回到我们刚才提到的问题，就是将结息期无限缩短，我们会不会变成亿万富翁。那么这个问题就变成了求(1 + 1 / n)^n，当n趋近于正无穷的极限了。这个我们在高中时就学过，这个极限的结果为e（极限证明过程略，可参考网络资料），可见，虽然随着结息期的缩短，本息和增加，但其增加趋势是收敛的，所以我们就不能通过这种方式变成亿万富翁了。

03．e的意义

可能有人要问了，上面提到的e到底有什么意义呢？无限缩短的结息期，这个在现实中也是不存在的吧，那么能说明什么呢？

无限缩短的结息期可能不会存在，但这种无限的趋势却是处处存在的。比如生物的生长，气体的扩散，元素的衰变等等。这种无限的趋势中隐含的自然常数e，从我们人类在地球上诞生那一刻起，就在不断的用自身向我们揭示这个跨越宇宙的真理。

盛开的花朵的形状，海螺壳的形状，这些都是生物自然生长的体现，生物的生长自然是通过细胞分裂的形式进行的，而每一个初始细胞都像是我们存到银行的1元钱本金，而生物生长的结息期可视为无限短，因为他们几乎从未停止过分裂，新分裂的细胞又可以继续的分裂，就和上面我们计算复利的方式一样，这就使他们在单位时间里以自然常数的倍数为单位增殖，细胞是均匀分布在生物体上的，这也导致他们始终会以一种和自然常数e相关的方式生长。我们人类也一样，自身内部的很多特征也都是和自然常数e息息相关。

放眼自然界的无机成分，热带气旋的形状，银河系的形状，甚至是下水道的旋涡形状，它们是不是极为相似。虽然我们尚不清楚热带气旋和星系是怎么形成的，我们也可以假设他们和下水的旋涡一样都是相同的被干扰的消散系统。我们来简单分析一下下水的运动，当打开下水口的时候，水由于受到重力，水会从下水口不断留出，那么水量就会以下水口的截面容积为单位，不断的消散，而储水容器中的水受到干扰进行圆周运动后，因为要填补留出的水的空隙就会以减少的水量为相关单位，不断的加速运动，而这时你看到的旋涡的形状，也是和自然常数e相关的。那么如果热带气旋、银河系等自然物体，如果原理类似，展现给我们和自然常数e相关的形状就不难解释了。

04．跨越宇宙的真理

为什么我会说自然常数e是跨越宇宙的真理呢？

对比圆周率常数π来说，其所依赖的条件是三维空间的平面几何，更准确的说是依赖无曲率的空间。但自然常数e就大大不同了，他没有任何空间条件限制，他反映的就是单位时间内的最大增长倍数，即增长率的极限，他在我们所知的任何环境中都可能是唯一且不变的。

自然常数e并不是人们发明或创造的，是本来就存在的，暗藏在自然规律中的一个真理常数，他是《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象”。